1 成本-公差模型
为了深入、准确地描述成本与公差的相互关系，往往需要采用数学方法，由于产品加工成本的影响因素很多，采用不同的加工手段，必然导至加工成本迥异。即使采用相同的加工工艺，不同的制造者由于生产技术与管理水平等因素的差异，最终产品的生产加工成本也可能有很大的出入。因此比较难于确定出一个通用的成本-公差关系式。
由于成本-公差的关系，取决于具体的加工对象与加工工艺过程，不同的加工对象与加工工艺过程，可能更适应于某一种特定的数学模型。目前国外研究者在实验的基础上分别提出了各种形式的成本-公差模型［1］［2］，国内也已开始关注这一问题的研究［4］。但无论现有的哪一种模型方案，均为随自变量增加而趋近于一常数的在第一象限内下凹单调减函数，其理论曲线的形状均如图1所示。其中，最常见的为平方倒数模型［3］
C(t)=a+b/t² (1)
图1
式中：C——零件功能形面的加工成本；
a——与公差变动无关的成本常数；
b——与公差变动有关的成本曲线特征系数。
通过选取多个观察统计样本，采用最小二乘法对统计样本数据进行回归分析，可得成本-公差模型的参数值如下
a=(∑ci-b∑1/ti2)/n b=(∑ci∑1/ti2-n∑ci/ti2)/((∑1/ti2)²-n∑1/ti4
2 零件公差优化设计
机械产品的质量在很大程度上是与产品的工作精度等输出性能指标联系在一起的。在一般情况下，产品的输出特性参数都是构成产品的零部件几何参数的映射，因此，产品的输出特性都可用其零部件几何参数来描述。显然，输出特性的变化与几何参数的取值范围，即产品精度与零件设计公差之间也可以建立起相应的数学表达式，这个数学表达式就称为功能方程，可表达为
T＝f（t1，t2，……，tn）
(2)
式中：T——产品输出特性公差；
ti——零件设计公差。
功能方程是进行公差设计的主要依据。公差设计包括公差分析和公差综合两项内容。公差分析是已知产品组成零件的设计公差ti，根据功能方程计算产品输出特性的变动量T0，检验产品设计精度T是否得到满足。公差综合的目的是将产品设计精度T按一定的规则分配给相关零件公差ti，使得产品制造成本为最小。因此，最好的公差分配判据是零件的制造成本。
在确定了产品输出特性误差的传递途径，即确定了为达到产品工作精度应包括的零件设计公差与公差传递系数后，一般可以采用两种模型建立功能方程：极差公差模型与统计公差模型。
极差公差模型 T=∑(i=1--n)|ξi|ti (3)
统计公差模型 T=1/k0SQRT(∑(i=1--n)ξi2Ki2ti2) （4)
其中：ξi——第i个公差传递系数；
K0——输出特性公差相对分布系数；
Ki——第i个公差相对分布系数。
当零件尺寸分布曲线为正态分布时，Ki值为1。当各零件尺寸均遵循正态分布时，不论零件尺寸数多少以及各尺寸分布范围大小之间的比值如何，输出特性值必定遵循正态分布；当各零件尺寸具有各自任意形式的分布曲线，只要尺寸数不太少(一般n5)，各尺寸分布范围大小相差不太大时，产品输出特性值仍然趋向正态分布，这时，可均取K0＝1。
如果总制造成本用C∑表述，则由式(2)得
C∑=∑(i=1--n)(ai+bi/ti2) （5）
假设以统计公差模型为研究前提，功能方程为
K02T2=(∑(i=1--n)ξi2Ki2ti2) （6）
以总成本C∑最小为公差分配判据，这就是一个求解条件极值问题，可以用拉格朗日乘数法求解。
引入一个新函数
f=∑(i=1--n)(ai+bi/ti2)+λ(∑(i=1--n)ξi2Ki2ti2-K02T2) （7）
上式中λ为拉格朗日乘法，是一个待定系数。为使函数f为最小，令f对ti的一阶偏导数为零，得
由此得
（8）
将式(8)代入式(6)得
即
（9）
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